调和级数是一个发散的数项级数，其定义如下：
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.}
表面上看该级数收敛，其一般项趋于零，但实际上它是发散的。
与它相关的一个级数：
1
−
1
2
+
1
3
−
⋯
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
k
{\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}}
是条件收敛的，且收敛到
ln
2
{\displaystyle \ln 2}
。
发散速度[]
调和级数发散得很慢，它和对数函数发散速度相当，一个初等证明是注意到以下事实
ln
(
1
+
n
)
<
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
<
1
+
ln
n
.
{\displaystyle \ln(1+n)<1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}<1+\ln n.}
然后，有
ln
(
1
+
n
)
ln
n
<
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
ln
n
<
1
+
1
ln
n
.
{\displaystyle \dfrac{\ln (1+n)}{\ln n} < \dfrac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n} < 1 + \dfrac{1}{\ln n}.}
自然由两面夹法则可知
lim
n
→
∞
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
ln
n
=
1.
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n} = 1.}
如果将调和函数的前
n
{\displaystyle n}
项部分和与
ln
n
{\displaystyle \ln n}
作差，将导致 Euler 常数被定义。
关于式#A1的证明，可以考察
∫
k
k
+
1
1
k
+
1
d
x
<
∫
k
k
+
1
1
x
d
x
<
∫
k
k
+
1
1
k
d
x
{\displaystyle \int_k^{k+1} \dfrac{1}{k+1} \mathrm{d}x < \int_k^{k+1} \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x < \int_k^{k+1} \dfrac{1}{k} \mathrm{d}x}
即
1
k
+
1
<
ln
(
k
+
1
)
−
ln
k
<
1
k
{\displaystyle \dfrac{1}{k+1} < \ln (k+1) - \ln k < \dfrac{1}{k}}
进而有
1
2
<
ln
2
−
ln
1
<
1
,
1
3
<
ln
3
−
ln
2
<
1
2
,
⋯
,
1
n
<
ln
n
−
ln
(
n
−
1
)
<
1
n
−
1
,
{\displaystyle \begin{align}
&\dfrac{1}{2} < \ln 2 - \ln 1 < 1, \\
&\dfrac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \dfrac{1}{2}, \\
&\cdots, \\
&\dfrac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \dfrac{1}{n-1}, \\
\end{align}}
于是
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
<
ln
n
<
1
+
1
2
+
⋯
+
1
n
−
1
.
{\displaystyle \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} < \ln n < 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots +\dfrac{1}{n-1}.}
级数论（学科代码：1103430，GB/T 13745—2009）
数项级数
数项级数 ▪ 调和级数 ▪ 任意项级数（Leibniz 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法） ▪ 收敛级数的运算 ▪ 无穷乘积 ▪ 母函数
正项级数
正项级数收敛判别法：d' Alembert 判别法 ▪ Gauss 判别法 ▪ 比值判别法 ▪ 对数判别法 ▪ Sapagof 判别法 ▪ Kummer 判别法 ▪ 凝聚判别法 ▪ Frink 判别法 ▪ Ermakof 判别法 ▪ Lobatchevski 判别法
函数项级数
函数列 ▪ 函数项级数 ▪ 一致收敛 ▪ Bernstein 多项式 ▪ Weierstrass 逼近定理
幂级数
幂级数 ▪ 泰勒级数 ▪ Cauchy-Hadamard 定理
Fourier 级数
离散 Fourier 变换 ▪ 快速 Fourier 变换
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