Quasi-Explicit 模型#
在某些特定情况下，尤其是市场数据稀少或缺少远离moneyness的期权时，原始 SVI 模型有可能会产生无界隐含波动率或出现拟合失败的情形。为了解决这个问题，Zeliade Systems (2009) 提出 Quasi-Explicit SVI 模型。在 Quasi-Explicit 模型中，对上述 SVI 公式进行了改进，通过引入额外的到期日参数 \(T\) ，使模型更加灵活，并能够提供相对稳健的参数估计值进而适应各种市场条件。
Quasi-Explicit 是SVI的另一种形式，更适合于参数校准，对参数的定义与SVI原始公式略有不同：
\[
y (x) = \frac{x - m}{\sigma}
\]
Zeliade Systems (2009) 强调波动率的总方差 \( \tilde{v} = T v\) ， 因此SVI 参数形式转换为
\[
v (x) = a T + b\sigma T (\rho y + \sqrt{y^2 + 1})
\]
此表达式清晰地展示了，对于固定的 \(m\) 和 \(\sigma\) 值，\(Tv\) 曲线能够完全由 \(a\)， \(\rho\) 以及 乘积 \(b\sigma\) 决定。因此，若重新定义参数为
\[\begin{split}
\begin{aligned}
c & = b \sigma T \\
d & = \rho b \sigma T \\
\tilde{a} &= aT
\end{aligned}
\end{split}\]
那么， \(\tilde{v}(y)\) 呈线性依赖于 \(c\)， \(d\) ， \(a\) :
\[
\begin{equation}
\tilde{v}(y) = \tilde{a} + dy + c \sqrt{y^2 + 1}
\end{equation}
\]
内层优化#
因此，对于固定值 \(m\) 和 \(\sigma\)，求解问题：
\[
\begin{equation}
(P_{m, \sigma}) \min_{(c, d, \tilde{a}) \in D} f_{y_i, v_i}(c, d, \tilde{a})
\end{equation}
\]
其中，\(f{y_i, v_i}\)为成本函数
\[\begin{split}
\begin{aligned}
f_{y_i, vi}(c , d, \tilde{a}) &= f (c, d, \tilde{a}) = \sum_{i = 1}^n(\tilde{v}(y_i) - \tilde{v_i})^2 \\
\tilde{v_i} &= Tv_i \\
\end{aligned}
\end{split}\]
\((c, d, \tilde{a})\) 的定义域 \(D\) 为
\[\begin{split}
D =
\begin{cases}
0 \leq c \leq 5\sigma \\
\mid d \mid \leq c \space\text{and}\space \mid d \mid \leq 4\sigma -c \\
0 \leq \tilde{a} \leq \max_i(\tilde{v_i})
\end{cases}
\end{split}\]
外层优化#
设 \((c^*, d^*, \tilde{a}^*)\) 代表 \(P_{m,\sigma}\)的解，并且 \((a^*, b^*, \rho ^*)\) 为对应三元组 \((a, b, \rho)\)， 那么完整的模型校准问题可表示为
\[
\begin{equation}
(P) \space \space \min_{m, \sigma} \sum_{i = 1}{n}(v_{m, \sigma, a^*, b^*, \rho^*}(x_i) - v_i^2)
\end{equation}
\]
到这一步骤之后，剩下的唯一任务即为求解二维方程 \(P_{m, \sigma}\) 。
降维问题的闭式解#
\(P_{m, \sigma}\) 是一个有着线性规划的凸优化问题，在容许域 \(D\) 中定义的所有约束条件均为线性的。显而易见，该方程有一个显示解。在外层优化中，由于成本函数 \(f\) 是关于 \((\sigma, m)\) 的非线性函数，\(f\) 会出现多个局部最小值。
针对外层优化，Zeliade Systems (2009) 推荐 Nelder-Mead Simplex (1965) 算法。在外层优化中，采用Nelder-Mead Simplex算法具有明显优势。该算法是一个无约束优化算法，能够处理非线性、非平滑的目标函数。其次，该方法不需要目标函数的导数信息，特别适用于导数难以计算或不存在的情形。另外，通过使用单纯形法的迭代搜索策略，它能够有效地搜索和收敛到函数的局部最小值。而且，Nelder-Mead 方法在多维度参数空间中表现稳健，尤其是在初值选择不是非常接近最优解的情况下，在实际外层优化问题中应用广泛 (Gao and Han, 2010)。
实证分析#
2D波动率曲线#
测试数据为2023年7月26日l2309期权的隐含波动率为例，日历日到期时长为 43.0， 无风险利率为0.02。
Quasi-SVI、SVI以及隐含波动率的对比结果如下：
3D波动率曲面#
测试数据为2023年7月26日聚乙烯期权的隐含波动率为例，日历日到期时长为 43.0， 无风险利率为0.02。
隐含波动率曲面如下：
原始SVI波动率曲面如下：
Quasi-explicit波动率曲面如下：